Question

（1）如圖，已知：P是正方形ABCD的CD邊上一點(diǎn)，∠BAP的平分線交BC于Q，求證：AP=DP+BQ．
（2）若（1）中的點(diǎn)P位置在DC的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADE的位置，
∴∠EAD=∠QAB，∠EDA=∠ABQ=90°，∠E=∠AQB，DE=BQ，
∴AB與AD重合，∠ADE=∠B=90°
∵AB=AD，
∴B、D兩點(diǎn)重合，
∴點(diǎn)E，D，P共線，
又∵∠AQB=∠DAQ，
而∠BAP的平分線交BC于Q，
∴∠AQB=∠EAP，
∴∠E=∠PAE，
∴PE=PA，
∴PA=DP+BQ；

（2）PA=DP+BQ仍然成立．理由如下：
把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADE的位置，如圖，
證明的方法和上面一樣．
分析：（1）把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADE的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAD=∠QAB，∠EDA=∠ABQ=90°，∠E=∠AQB，DE=BQ，得到點(diǎn)E，D，P公線，而∠AQB=∠DAQ，∠BAP的平分線交BC于Q，所以∠AQB=∠EAP，則∠E=∠PAE，得到PE=PA，即可得到PA=DP+BQ；
（2）PA=DP+BQ仍然成立．把△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ADE的位置，證明的方法和上面一樣．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．