Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是的中點，弦CE⊥AB于點H，連結AD，分別交CE、BC于點P、Q，連結BD

（1）求證：∠ACH=∠CBD；

（2）求證：P是線段AQ的中點；

（3）若⊙O 的半徑為5，BH=8，求CE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）8．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂徑定理得出AB垂直平分CE，推出H為CE中點，弧AC=弧AE，根據(jù)圓周角定理推出即可．

（2）根據(jù)圓周角定理求出∠ACH=∠CAD，推出AP=CP，求出∠PCQ=∠CQP，推出PC=PQ，即可得出答案．

（3）連接OC，根據(jù)勾股定理求出CH，根據(jù)垂徑定理求出即可．

試題解析：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，

∴AB垂直平分CE，

即H為CE中點，弧AC=弧AE

又∵C是的中點，

∴弧AC=弧CD

∴弧AC=弧CD=弧AE

∴∠ACH=∠CBD；

（2）由（1）知，∠ACH=∠CBD，

又∵∠CAD=∠CBD

∴∠ACH=∠CAD，

∴AP=CP

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∴∠PCQ=90°﹣∠ACH，∠PQC=∠BQD=90°﹣∠CBD，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，

即P是線段AQ的中點；

（3）【解析】
連接OC，

∵BH=8，OB=OC=5，

∴OH=3

∴由勾股定理得：CH==4

由（1）知：CH=EH=4，

∴CE=8．

考點：1．三角形的外接圓與外心；2．勾股定理；垂徑定理；3．圓心角、弧、弦的關系．