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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OB<OC)是方程x2﹣10x+16=0的兩個根,且拋物線的對稱軸是直線x=﹣2.

(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)求此拋物線的表達式;
(3)連接AC,BC,若點E是線段AB上的一個動點(與點A,點B不重合),過點E作EF∥AC交BC于點F,連接CE,設AE的長為m,△CEF的面積為S,求S與m之間的函數關系式,并寫出自變量m的取值范圍;
(4)在(3)的基礎上試說明S是否存在最大值?若存在,請求出S的最大值,并求出此時點E的坐標,判斷此時△BCE的形狀;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:解方程x2﹣10x+16=0得x1=2,x2=8

∵點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,且OB<OC

∴點B的坐標為(2,0),點C的坐標為(0,8)

又∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=﹣2

∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(﹣6,0)


(2)解:∵點C(0,8)在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上

∴c=8,將A(﹣6,0)、B(2,0)代入表達式,

得:

解得

∴所求拋物線的表達式為y=﹣ x2 x+8


(3)解:依題意,AE=m,則BE=8﹣m,

∵OA=6,OC=8,

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

= ,即 =

∴EF= (6分)

過點F作FG⊥AB,垂足為G,

則sin∠FEG=sin∠CAB=

=

∴FG= =8﹣m

∴S=SBCE﹣SBFE

= (8﹣m)×8﹣ (8﹣m)(8﹣m)

= (8﹣m)(8﹣8+m)

= (8﹣m)m

=﹣ m2+4m

自變量m的取值范圍是0<m<8


(4)解:存在.

理由:∵S=﹣ m2+4m=﹣ (m﹣4)2+8且﹣ <0,

∴當m=4時,S有最大值,S最大值=8 (10分)

∵m=4,

∴點E的坐標為(﹣2,0)

∴△BCE為等腰三角形.


【解析】(1)先解關于x的一元二次方程,得到線段OB、OC的長,從而可得到B、C兩點坐標,根據拋物線的對稱性可得點A坐標;
(2)把A、B、C三點代入二次函數解析式,得到關于a、b、c的方程組,從而可求得二次函數解析式;
(3)依據圖形可得到S△EFF=S△BCE-S△BFE,從而可得到S與m的函數關系;
(4)利用二次函數求出最值,進而求得點E坐標.OC垂直平分BE,那么EC=BC,所求的三角形是等腰三角形.

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