Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，OD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE、AE、AE與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)H在OD的延長線上，且∠OHB=∠AEC．
（1）求證：BH與⊙O相切；
（2）若AE=4，tan∠A=$\frac{1}{2}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明BH與⊙O相切，只要證明∠ABH=90°即可．
（2）連接EB，先求出EB、AB，由△EBF∽△EAB，得$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BE}{AE}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：∵D為BC中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠DBO=90°，
∵∠OHB=∠AEC，∠AEC=∠DBO，
∴∠OHB+∠DOB=90°，
∴∠OBH=90°，
∴OB⊥BH，
∴BH與⊙O相切．
（2）解：連接EB．∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AE=4，tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2，AB=2$\sqrt{5}$，
∵OD⊥BC，
∴$\widehat{EB}$=$\widehat{EC}$，
∴∠EBF=∠EAB，
∵∠BEA=∠FEB，
∴△EBF∽△EAB，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BE}{AE}$，即$\frac{BF}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．