Question

【題目】如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E.

(1)求證：IE＝BE；

(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）DE＝2.

【解析】

（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)以及圓周角定理的推論即可證明；
（2）IE的長(zhǎng)，即是BE的長(zhǎng)，則可以把要求的線段和已知的線段構(gòu)造到兩個(gè)相似三角形中，進(jìn)行求解．

解： 連結(jié)IB.

∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.

又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，

∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，

∴BE＝IE；　

(2)在△BED和△AEB中，

∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，

∴△BED∽△AEB，

∴＝.

∵IE＝4，

∴BE＝4.

∵AE＝8，

∴DE＝＝2.