Question

已知拋物線y=

1

2

x2-mx+2m-

7

2

．
（1）試說(shuō)明：無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）如圖，當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，并與它的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
①拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，通過(guò)怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）從函數(shù)的判別式出發(fā)，判別式總大于等于3，而證得；
（2）①由直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求得點(diǎn)A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，求得點(diǎn)P坐標(biāo)；
②求得MN的坐標(biāo)，從MN與CD的位置關(guān)系解得．

解答：解：（1）該函數(shù)的判別式=m²-4m+7=（m-2）²+3≥3
∴該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

（2）由直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（1，0）
代入二次函數(shù)式則m=3
故二次函數(shù)式為：y=

1

2

x2-3x+

5

2

當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3時(shí)，則y=-2，
即頂點(diǎn)C為（3，-2），
把x=3代入直線y=x-1則y=2，
即點(diǎn)D（3，2）
則AD=AC=2

2

設(shè)點(diǎn)P（x，

1

2

x2-3x+

5

2

）
由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等
則

1 2 x2-3x+ 5 2 +2

x-3

=1
解得：x=3或x=5
則點(diǎn)P（3，-2）（與點(diǎn)D重合舍去）或（5，0）
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)（5，0）符合，
所以點(diǎn)P（5，0）
②設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A（1，0），D（3，2）代入得直線AB：y=x-1，
設(shè)M（a，a-1），N（a，

1

2

a²-3a+

5

2

），
當(dāng)以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，MN=CD，即|（a-1）-（

1

2

a²-3a+

5

2

）|=4，
解得a=4±

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或3或5，
故把直線CD向右平移1+

17

個(gè)單位或2個(gè)單位，向左平移

17

-1個(gè)單位，能使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，求得判別式總大于等于3，而證得；求得點(diǎn)A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，而解得；平移后得到的情況，得到M，N的坐標(biāo)而解得．