Question

設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是a、b、c．
（1）a²、b²、c²一定可以是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)嗎？若是，說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉例說(shuō)明．
（2）ab、bc、ca一定可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)嗎？若是，說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉例說(shuō)明．
（3）求證：a²+bc、b²+ca、c²+ab一定可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：（1）不一定；舉出一個(gè)反例：a=3、b=4、c=5即可解決問(wèn)題．
（2）不一定；舉出一個(gè)反例：a=2、b=4、c=5即可解決問(wèn)題．
（3）運(yùn)用均值不等式a²+b²≥2ab，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系，即可解決問(wèn)題．

解答：（1）解：a²、b²、c²不一定是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)；
如a=3、b=4、c=5是一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，
此時(shí)，a²=9，b²=16，c²=25；
∵9+16=25，這與三角形中任意兩邊之和大于第三邊矛盾，
∴a²、b²、c²不是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)．
（2）解：ab、bc、ca不一定是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)；
如a=2，b=4，c=5是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，
此時(shí)ab=8，bc=20，ac=10；
∵8+10＜20，這與三角形中任意兩邊之和大于第三邊矛盾，
∴ab、bc、ca不是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．
（3）證明：∵a²+b²≥2ab，
∴a²+bc+b²+ca≥2ab+（a+b）c＞ab+（a+b）c，
∵a+b＞c，
∴a²+bc+b²+ca＞c²+ab；
同理可證：b²+ca+c²+ab＞a²+bc，
a²+bc+c²+ab＞b²+ca，
∴a²+bc、b²+ca、c²+ab一定可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形的三邊關(guān)系及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三邊關(guān)系來(lái)分析、變形、討論、判斷；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、靈活的變形轉(zhuǎn)化能力等均提出了較高的要求．