Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAD＝∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分線(xiàn)．

求證：（1）AD＝BD；

（2）CD＝DB．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義得到∠AED＝∠BED＝90°，由角平分線(xiàn)的定義得到∠ADE＝∠BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠B，等量代換得到∠CAD＝∠BAD＝∠B，求得∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

證明：（1）∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠BED＝90°，

∵DE恰好是∠ADB的平分線(xiàn)，

∴∠ADE＝∠BDE，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△BDE（ASA），

∴AD＝BD；

（2）∵△BED≌△AED，

∴∠BAD＝∠B，

∵∠BAD＝∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，

∵AD＝BD，∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，

∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，

在直角三角形ACD中，∠CAD＝30°，

∴CD＝AD＝BD．