Question

如圖1，動直線l：y=kx+2交拋物線y=x²于A、B兩點（A在B的左邊），交y軸于M點，N為x軸正半軸上一點，且ON=OM+1

（1）直接寫出M、N兩點的坐標

（2）如圖1，連AN、BN，當∠ANB=90°時，求k的值；如圖2，過B作y軸的平行線交直線OA于C，試探求△MNC的周長的最小值．

　

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）首先求得直線與y軸的交點M的坐標，然后根據(jù)ON=OM+1求得點N的坐標；

（2）設(shè)A（x₁， x₁²），B（x₂， x₂²），A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，利用△ADN∽△NEB列出比例式求得有關(guān)兩點坐標的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式求解即可；求得直線AO的解析式，然后確定點C的位置，然后利用軸對稱的性質(zhì)確定三角形的面積的最小值即可．

【解答】解：（1）M（0，2），N（3，0）；

（2）設(shè)A（x₁， x₁²），B（x₂， x₂²），

過A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，

則△ADN∽△NEB，

∴，

∴=，

∴（x₁x₂）²=﹣（3﹣x₁）（3﹣x₂），（x₁x₂）²=﹣[9﹣3（x₁+x₂）+x₁x₂]，

又∵由l：y=kx+2，拋物線y=x²，得： x²﹣kx﹣2=0，

∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣8，

∴（﹣8）²=﹣[9﹣3×4k﹣8]，

∴k=；

設(shè)直線AO的解析式為y=mx，

∵過A（x₁， x₁²），

∴x₁²=mx₁，

∴m=x₁，

∴直線AO的解析式為y=x₁x，

∵BC∥y軸，直線BC的解析式為x=x₂，

∴C（x₂， x₁x₂），

又∵由（1）知x₁x₂=﹣8，

∴C（x₂，﹣2），

又∵x₂＞0，

∴C點一定在沒有端點的射線y=﹣2（x＞0）上運動，

∴由軸對稱可知：△MNC的周長的最小值為3+．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中往往設(shè)出有關(guān)點的坐標，根據(jù)題意得到方程，從而求得點的坐標的方法在解決此類題目中應用十分的廣泛，在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．