Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過A（-2，0），B（0，4）兩點，過點B作BC∥x軸交拋物線于C，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接OC，在直線OC的右側(cè)的坐標(biāo)平面上是否存在點M，使△MOC與△AOB相似？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出直線AC的解析式，作輔助線，求出PQ的長度；然后求出△PAC的面積；當(dāng)0＜x＜2與2＜t＜4時，需要分別計算；
（3）如答圖3所示，滿足題意的點M有6個，分別為：
以O(shè)C為斜邊的有2個：M₁，M₆；
以O(shè)C、OM為直角邊的有2個：M₂，M₄；
以O(shè)C、CM為直角邊的有2個：M₃、M₅．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

-2-2b+c=0 c=4

解得b=1，c=4
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+x+4．

（2）當(dāng)y=4時，
-

1

2

x²+x+4=4，解得x₁=0，x₂=2，∴C（2，4）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

-2k+b=0 2k+b=4

解得y=x+2．

①當(dāng)0＜t＜2時，過點P作PE⊥x軸于E，交AC于Q
PQ=（-

1

2

t²+t+4）-（t+2）
=-

1

2

t²+2
S=S_△PAQ+S_△PCQ
=

1

2

PQ•AE+

1

2

PQ•OE=

1

2

PQ•AE=

1

2

（-

1

2

t²+2）×4
=-t²+4；
②當(dāng)2＜t＜4時
同理可得S=S_△PAQ-S_△PCQ
=

1

2

PQ•AE-

1

2

PQ•EF=

1

2

PQ•AF
=

1

2

[（t+2）-（-

1

2

t²+t+4）]•4=

1

2

（

1

2

t²-2）]•4
=t²-4．
綜上所述，S=

-t2+4(0＜t＜2) t2-4(2＜t＜4)

．

（3）存在．
M₁（2，0），M₂（2，-1），M₃（10，0）
M₄（8，-4），M₅（4，3），M₆（

16

5

，

12

5

）

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計算、相似三角形等知識點．第（2）問中，注意圖形面積的計算方法；第（3）問中，注意分類討論，避免漏解．