【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,AD=4,CE平分∠ACB交AD于點(diǎn)E.以線段CE為弦作⊙O,且圓心O落在AC上,⊙O交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G.
(1)求證:AD與⊙O的相切;
(2)若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn),求⊙O的半徑;
(3)判斷點(diǎn)E能否為AD的中點(diǎn),若能則求出BC的長(zhǎng),若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)證明:連接OE,
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠OCE=∠DCE,
∴∠OEC=∠DCE,
∴OE∥BC,
∵AD⊥BC,
∴OE⊥AD,
∴AD與⊙O的相切
(2)連接OG,過(guò)O作OH⊥CD于H,
∴OH∥AD,
∵OG=OC,
∴∠OGC=∠OCG,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠OGC,
∴OG∥AB,
∵ ,
∵點(diǎn)G為CD的中點(diǎn),
∴CG= CD= BC,
∴ ,
∴OH∥AD,
∴△COH∽△CAD,
∴ = ,
∴OH=1,
∴DE=OH=1,
∵AD與⊙O的相切,
∴DE2=DGCD=2DG2,
∴DG= ,
∴CD= ,
∵OE∥CD,
∴△AOE∽△ADC,
∴ ,
∴OE= ,
∴⊙O的半徑是
(3)點(diǎn)E不能為AD的中點(diǎn),
假設(shè)點(diǎn)E能為AD的中點(diǎn),
∵OE∥CD,
∴AO=OC,
∴AC為⊙O的直徑,OE= = CD,
∵CD=BD,AB=AC,
∴AB+AC=BC,即△ABC不存在,
故點(diǎn)E不能為AD的中點(diǎn)
【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEC=∠OCE,由角平分線的定義得到∠OCE=∠DCE,等量代換得到∠OEC=∠DCE,得到OE∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OE⊥AD,即可得到結(jié)論;(2)由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OGC=∠OCG,∠B=∠ACB,推出OG∥AB,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 ,得到 ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 = ,得到DE=OH=1,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.(3)假設(shè)點(diǎn)E能為AD的中點(diǎn),根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AO=OC,推出OE= = CD,得到AB+AC=BC,即△ABC不存在,于是得到結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(2,2)關(guān)于直線y=k(k>0)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在x軸的正半軸上,則k的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為美化校園,計(jì)劃對(duì)面積為1800m2的區(qū)域進(jìn)行綠化,安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成.已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的2倍,并且在獨(dú)立完成面積為400 m2區(qū)域的綠化時(shí),甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天.
(1)求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是多少m2?
(2)若學(xué)校每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用是0.4萬(wàn)元,乙隊(duì)為0.25萬(wàn)元,要使這次的綠化總費(fèi)用不超過(guò)8萬(wàn)元,至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成(n-2)個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案(n≥4)?
(探究)為了解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題,我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略,先從最簡(jiǎn)單情形入手,再逐次遞進(jìn)轉(zhuǎn)化,最后猜想得出結(jié)論.不妨假設(shè)n邊形的分割方案有Pn種.
探究一:用四邊形的對(duì)角線把四邊形分割成2個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?
如圖①,圖②,顯然,只有2種不同的分割方案.所以,P4=2.
探究二:用五邊形的對(duì)角線把五邊形分割成3個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?
不妨把分割方案分成三類:
第1類:如圖③,用A,E與B連接,先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案,所以,此類共有P4種不同的分割方案.
第2類:如圖④,用A,E與C連接,把五邊形分割成3個(gè)三角形,有1種不同的分割方案,可視為種分割方案.
第3類:圖⑤,用A,E與D連接,先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案,所以,此類共有P4種不同的分割方案.
所以,P5 =++=(種)
探究三:用六邊形的對(duì)角線把六邊形分割成4個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?
不妨把分割方案分成四類:
第1類:如圖⑥,用A,F(xiàn)與B連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形,再把五邊形分割成3個(gè)三角形,由探究二知,有P5種不同的分割方案.所以,此類共有P5種不同的分割方案.
第2類:如圖⑦,用A,F(xiàn)與C連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案.所以,此類共有P4種分割方案
第3類:如圖⑧,用A,F(xiàn)與D連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有P4種不同的分割方案.所以,此類共有P4種分割方案.
第4類:如圖⑨,用A,F(xiàn)與E連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形.再把五邊形分割成3個(gè)三角形,由探究二知,有P5種不同的分割方案.所以,此類共有P5種分割方案.
所以,P6 =(種)
探究四:用七邊形的對(duì)角線把七邊形分割成5個(gè)三角形,則P7與P6的關(guān)系為:
P7 = ,共有_____種不同的分割方案.……
(結(jié)論)用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成(
(應(yīng)用)用八邊形的對(duì)角線把八邊形分割成6個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案? (應(yīng)用上述結(jié)論,寫出解答過(guò)程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖①,BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE,BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB,BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線.
(1)當(dāng)∠BAC=40°時(shí),∠BPC= ,∠BQC= ;
(2)當(dāng)BM∥CN時(shí),求∠BAC的度數(shù);
(3)如圖②,當(dāng)∠BAC=120°時(shí),BM、CN所在直線交于點(diǎn)O,直接寫出∠BOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,則下列比例式不正確的是( )
A. =
B. =
C. =
D. =
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一張圓心角為45°的扇形紙板剪得一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,則扇形紙板的面積是cm2(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“五一”假期,某火車客運(yùn)站旅客流量不斷增大,旅客往往需要長(zhǎng)時(shí)間排隊(duì)等候檢票.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在車站開(kāi)始檢票時(shí),有640人排隊(duì)檢票.檢票開(kāi)始后,仍有旅客繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢票進(jìn)站.設(shè)旅客按固定的速度增加,檢票口檢票的速度也是固定的.檢票時(shí),每分鐘候車室新增排隊(duì)檢票進(jìn)站16人,每分鐘每個(gè)檢票口檢票14人.已知檢票的前a分鐘只開(kāi)放了兩個(gè)檢票口.某一天候車室排隊(duì)等候檢票的人數(shù)y(人)與檢票時(shí)間x(分鐘)的關(guān)系如圖所示.
(1)求a的值.
(2)求檢票到第20分鐘時(shí),候車室排隊(duì)等候檢票的旅客人數(shù).
(3)若要在開(kāi)始檢票后15分鐘內(nèi)讓所有排隊(duì)的旅客都能檢票進(jìn)站,以便后來(lái)到站的旅客隨到隨檢,問(wèn)檢票一開(kāi)始至少需要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與軸、軸分別交于點(diǎn),.點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn) 的坐標(biāo)為(,0).
(1)求的值;
(2)若點(diǎn)(,)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,試寫出的面積與的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)探究:當(dāng)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),的面積為,并說(shuō)明理由.
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