Question

10．（1）如圖所示，∠AOB=α，∠AOB內(nèi)有一點P，在∠AOB的兩邊上有兩個動點Q、R（均不同于點O），現(xiàn)在把△PQR周長最小時∠QPR的度數(shù)記為β，則α與β應(yīng)該滿足關(guān)系是β+2α=180°．
（2）設(shè)一次函數(shù)y=mx-3m+4（m≠0）對于任意兩個m的值m₁、m₂分別對應(yīng)兩個一次函數(shù)y₁、y₂，若m₁m₂＜0，當(dāng)x=a時，取相應(yīng)y₁、y₂中的較小值P，則P的最大值是4．

Answer 1

分析 （1）作點P關(guān)于OA的對稱點P′，作點P關(guān)于OB的對稱點P″，連接P′P″分別OA于點Q交OB于點R，連接OP′，OP″（如圖1所示），此時△PQR周長最小，根據(jù)全等三角形的判定定理可得出△P′AQ≌△PAQ、△POR=△P″OR，通過角的計算即可得出α、β之間的關(guān)系；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)畫出P關(guān)于x的圖象，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作點P關(guān)于OA的對稱點P′，作點P關(guān)于OB的對稱點P″，連接P′P″分別OA于點Q交OB于點R，連接OP′，OP″（如圖1所示），此時△PQR周長最小，
∵點P、P′關(guān)于OA對稱，點P、P″關(guān)于OB對稱，
∴OP′=OP=OP″，∠P′AQ=∠PAQ，∠POR=∠P″OR，
在△P′AQ=△PAQ中，$\left\{\begin{array}{l}{OP′=OP}\\{∠P′OQ=∠POQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△P′AQ≌△PAQ（SAS），
同理：△POR=△P″OR．
∴∠OPQ=∠OP′Q，∠OPR=∠OP″R．
在△P′OP″中，OP″=OP′，∠P′OP″=∠P′OQ+∠QOR+∠ROP″=2α，
∴β=∠OP′Q+∠OP″R=180°-∠P′OP″=180°-2α，
∴β+2α=180°．
故答案為：β+2α=180°．
（2）由題意可知：y₁=m₁x-3m₁+4，y₂=m₂x-3m₂+4．
∵m₁m₂＜0，
不失一般性，設(shè)m₁＜0＜m₂，
依照題意畫出P關(guān)于x的函數(shù)圖象，如圖2所示．
結(jié)合函數(shù)圖象可知P=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了軸對稱中的最短路線問題、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△PQR周長最小時點Q、R的位置；（2）畫出P關(guān)于x的函數(shù)圖象．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)找點的軸對稱點確定Q、R點的位置是關(guān)鍵．