Question

在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM的值為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)∠NMB=∠MBC，延長MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，連接點(diǎn)T和MB的中點(diǎn)，得到相似三角形，然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求出∠ABM的正切．

解答：解：如圖：延長MN交BC的延長線于T，設(shè)MB的中點(diǎn)為O，連TO，則OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，則△BAM∽△TOB，
∴

AM

MB

=

OB

BT

，即MB²=2AM•BT ①
令DN=1，CT=MD=K，則：AM=2-K，BM=

4+(2-K)2

，BT=2+K，
代入①中得：4+（2-K）²=2（2-K）（2+K），
解方程得：K₁=0（舍去），K₂=

4

3

．
∴AM=2-

4

3

=

2

3

．
tan∠ABM=

AM

AB

=

2 3

2

=

1

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形，運(yùn)用正方形的性質(zhì)，根據(jù)題目中角的關(guān)系，判斷兩個(gè)三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求出直角三角形中邊的長度，再用正切的定義求出角的正切值．