Question

如圖，AC是半圓O的直徑，B是半圓上的一點(diǎn)，D是弧AB的中點(diǎn)，連接AB、CB、CD、AD，延長AD交CB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CA=CE；
（2）若∠AOB=60°，AE2=24(2-

3

)，求半圓O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由AC是半圓O的直徑得到∠ADC=90°，由D是弧AB的中點(diǎn)得到∠ACD=∠BCD，再利用ASA證明△ACD≌△ECD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到CA=CE；
（2）先根據(jù)有一個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形得出△AOB是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=OA=OB，∠OAB=60°，再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得到△CDE∽△ABE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出DE：BE=CE：AE，將DE=

1

2

AE，CE=2AB代入，得到AE²=4BE•AB，又在△ABE中，運(yùn)用勾股定理得出AB²+BE²=AE²，將AE2=24(2-

3

)分別代入上面兩個(gè)式子，求出AB的值，然后根據(jù)圓的面積根據(jù)即可得出半圓O的面積．

解答：（1）證明：∵AC是半圓O的直徑，
∴∠ADC=90°．
∵D是弧AB的中點(diǎn)，
∴

AD

=

BD

，
∴∠ACD=∠BCD．
∵在△ACD與△ECD中，

∠ACD=∠ECD CD=CD ∠ADC=∠EDC=90°

，
∴△ACD≌△ECD（ASA），
∴CA=CE；

（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB，∠OAB=60°．
∵在△CDE與△ABE中，

∠CDE=∠ABE=90° ∠E=∠E

，
∴△CDE∽△ABE，
∴DE：BE=CE：AE，
∴DE•AE=BE•CE，
∵△ACD≌△ECD，
∴AD=DE=

1

2

AE，
∵CE=CA=2OA=2AB，
∴

1

2

AE•AE=BE•2AB，
∴AE²=4BE•AB．
設(shè)AB=x，BE=y，則4xy=AE²=24（2-

3

），
即2xy=12（2-

3

） ①．
在△ABE中，∵∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²，
∴x²+y²=24（2-

3

） ②，
①+②，得x²+y²+2xy=36（2-

3

），
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=3

6

-3

2

 ③，
②-①，得x²+y²-2xy=12（2-

3

），
∵x＞y，
∴x-y=3

2

-

6

 ④，
③與④聯(lián)立，解得

x= 6 y=2 6 -3 2

，
∴OA=AB=

6

，
∴半圓O的面積

1

2

π×（

6

）²=3π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，全等三角形、等邊三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的面積及方程思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．