Question

已知：二次函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1（m為常數(shù)）．
（1）若這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A，且A點(diǎn)在x軸的正半軸上．
①求m的值；
②四邊形AOBC是正方形，且點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，現(xiàn)將這個(gè)二次函數(shù)的圖象平移，使平移后的函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①根據(jù)二次函數(shù)x²-mx+

3

4

m+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A，可得判別式為0，依此可得關(guān)于m的方程，求解即可；
②由①得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．根據(jù)正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2）．根據(jù)待定系數(shù)法可求平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）分三種情況：（�。┊�(dāng)

m

2

＜0，即m＜0時(shí)；（ⅱ）當(dāng)0≤

m

2

≤2，即0≤m≤4時(shí)；（ⅲ）當(dāng)

m

2

＞2，即m＞4時(shí)；討論可求函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值．

解答：解：（1）①∵二次函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴△=m²-4×1×（

3

4

m+1）=0．
整理，得m²-3m-4=0，
解得m₁=4，m₂=-1，
又∵點(diǎn)A在x軸的正半軸上，
∴m=4，
②由①得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
∵四邊形AOBC是正方形，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2）．
設(shè)平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x²+bx+c（b，c為常數(shù)）．
∴

c=-2 4+2b+c=-2

，
解得

b=-2 c=-2

∴平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x²-2x-2．

（2）函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的圖象是頂點(diǎn)為（

m

2

，-

m2

4

+

3

4

m+1），且開(kāi)口向上的拋物線．分三種情況：
（�。┊�(dāng)

m

2

＜0，即m＜0時(shí)，函數(shù)在0≤x≤2內(nèi)y隨x的增大而增大，此時(shí)函數(shù)的最小值為

3

4

m+1；
（ⅱ）當(dāng)0≤

m

2

≤2，即0≤m≤4時(shí)，函數(shù)的最小值為-

m2

4

+

3

4

m+1；
（ⅲ）當(dāng)

m

2

＞2，即m＞4時(shí)，函數(shù)在0≤x≤2內(nèi)y隨x的增大而減小，此時(shí)函數(shù)的最小值為-

5

4

m+5．
綜上，當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值為

3

4

m+1；當(dāng)0≤m≤4時(shí)，函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值為-

m2

4

+

3

4

m+1；當(dāng)m＞4時(shí)，函數(shù)y=x²-mx+

3

4

m+1的最小值為-

5

4

m+5．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：根的判別式，方程思想，分類思想，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．