【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn),當(dāng)FBA=BDE時,求點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)M是拋物線上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)N,點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)Q在平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+2x+6,D(2,8);(2)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣3,﹣;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(2,﹣﹣1).

【解析】

試題分析:(1)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論;(2)設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′,設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為(0,m),由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F′的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式,聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組,解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)設(shè)對角線MN、PQ交于點(diǎn)O′,如圖2所示.根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、Q的位置,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2n),由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2﹣n,n).由點(diǎn)M在拋物線圖象上,即可得出關(guān)于n的一元二次方程,解方程可求出n值,代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)將點(diǎn)B(6,0)、C(0,6)代入y=﹣x2+bx+c中,

得:,解得:

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6.

y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,8).

(2)設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′,設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為(0,m),如圖1所示.

∵∠F′BO=FBA=BDE,F′OB=BED=90°,

∴△F′BO∽△BDE,

點(diǎn)B(6,0),點(diǎn)D(2,8),

點(diǎn)E(2,0),BE=6﹣4=4,DE=8﹣0=8,OB=6,

OF′=OB=3,

點(diǎn)F′(0,3)或(0,﹣3).

設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3,

則有0=6k+3或0=6k﹣3,

解得:k=﹣或k=,

直線BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3.

聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得:①或②,

解方程組①得:(舍去),

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣1,);

解方程組②得:(舍去),

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,﹣).

綜上可知:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣3,﹣).

(3)設(shè)對角線MN、PQ交于點(diǎn)O′,如圖2所示.

點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱,且四邊形MPNQ為正方形,

點(diǎn)P為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上,

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2n),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2﹣n,n).

點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上,

n=﹣(2-n)2+2(2﹣n)+6,即n2+2n﹣16=0,

解得:n1=﹣1,n2=﹣﹣1.

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(2,﹣﹣1).

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(1)求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使得它與B,C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大,若存在,求出此時M點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請簡要說明理由

(3)P為拋物線上一點(diǎn),它關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為Q

①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0t4),當(dāng)t為何值時,四邊形PBQC的面積最大,請說明理由.

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2)當(dāng)x為何值時,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍?

3)當(dāng)x=2時,點(diǎn)A2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動,同時點(diǎn)B1個單位長度/秒向右運(yùn)動, 問多長時間后點(diǎn)P到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離相等?

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捐款的數(shù)額(單位:元)

5

10

20

50

100

人數(shù)(單位:個)

2

4

5

3

1

關(guān)于這15名學(xué)生所捐款的數(shù)額,下列說法正確的是( )
A.眾數(shù)是100
B.平均數(shù)是30
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