Question

如圖，已知直線AB和CD相交于點O（∠AOC為銳角）
（1）寫出∠AOC和∠BOD的大小關(guān)系______；判斷的依據(jù)是______．
（2）過點O作射線OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，畫出圖形并求∠AOF+∠COF的度數(shù)，說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，若∠AOD=120°，請計算∠COF的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∠AOC=∠BOD，判斷的依據(jù)是對頂角相等；

（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∴∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE，
∵∠COE=90°，
∴∠AOF+∠COF=90°；

（3）∵∠AOD=120°，
∴∠AOC=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
①OE在∠BOC內(nèi)部時，如圖1，∠AOE=∠AOC+∠COE=60°+90°=150°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=×150°=75°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=75°-60°=15°；
②OE在∠AOD內(nèi)部時，如圖2，∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-60°=30°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=×30°=15°，
∴∠COF=∠AOF+∠AOC=15°+60°=75°；
綜上所述，∠COF的度數(shù)是15°或75°．
分析：（1）根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AOF=∠EOF，然后求出∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE，即可得解；
（3）根據(jù)鄰補角的定義求出∠AOC，再分①OE在∠BOC內(nèi)部時，先求出∠AOE，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，最后根據(jù)∠COF=∠AOF-∠AOC代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解；②OE在∠AOD內(nèi)部時，先求出∠AOE，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，最后根據(jù)∠COF=∠AOF+∠AOC代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．
點評：本題考查了對頂角相等，鄰補角互補的定義，角平分線的定義，角的計算，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．