Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如果BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DC=3，那么易知DE=______．
（2）如果在AB上取點E，使BE=BC，然后畫DE⊥AB交AC于點D，那么BD就是∠ABC的平分線．請寫出證明過程．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
即CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3；
故答案為：3；

（2）證明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BED=∠C=90°，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∵，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴∠CBD=∠EBD，
∴BD就是∠ABC的平分線．
分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DC=3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得DE的長；
（2）由在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，BE=BC，利用HL即可證得Rt△BCD≌Rt△BED，然后可證得BD就是∠ABC的平分線．
點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．