Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，角平分線BD、CE交于點I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列結論：①∠DIF=45°；②CF+BE=BC；③AE+AF=2AH；④S_{四邊形BEDC}=2S_△IBC，其中正確的結論為

 

．

Answer 1

考點：角平分線的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠BIC=135°，再求出∠CID=45°，然后求出∠DIF=45°，判斷出①正確；延長FI交BC于G，利用“角邊角”證明△CIG和△CIF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=CF，再求出∠BIE=∠BIG=45°，然后利用“角邊角”證明△BIG和△BIE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BG=BE，再根據(jù)CG+BG=BC等量代換即可得到CF+BE=BC，判斷出②正確；過點G作GM⊥AB于M，連接EF、EG，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得IE=IG，然后求出∠IEG=45°，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得EG=EF，再求出∠EGM=∠AEF，然后利用“角角邊”證明△AEF和△MGE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=ME，再根據(jù)AM=AE+EM等量代換，IH⊥AB整理，判斷出③正確；求出EF∥BD，根據(jù)平行線間的距離相等，利用等底等高的三角形的面積相等可得S_△IED=S_△IFD，然后求出S_△CDE=S_△CID+S_△IED，再求出S_△BIE+S_△CED=S_△IBC，然后求出S_{四邊形BEDC}=2S_△IBC，判斷出④正確．

解答：解：∵∠A=90°，角平分線BD、CE交于點I，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-45°=135°，
∴∠CID=45°，
∵IF⊥IC，
∴∠DIF=45°，故①正確；
延長FI交BC于G，
在△CIG和△CIF中，

∠ACE=∠BCE CI=CI ∠CIF=∠CIG=90°

，
∴△CIG≌△CIF（ASA），
∴CG=CF，
∵∠BIE=∠CID=45°，∠BIG=∠DIF=45°，
∴∠BIE=∠BIG=45°，
在△BIG和△BIE中，

∠BIE=∠BIG BI=BI ∠ABD=∠CBD

，
∴△BIG≌△BIE（ASA），
∴BG=BE，
∵CG+BG=BC，
∴CF+BE=BC，故②正確；
過點G作GM⊥AB于M，連接EF、EG，
∵△BIG≌△BIE，
∴IE=IG，
∴∠IEG=45°，
∵CE垂直平分FG，
∴EG=EF，
∵∠FEG=∠IEG+∠IEF=45°+45°=90°，
∴∠EGM+∠MEG=∠AEF+∠MEG=90°，
∴∠EGM=∠AEF，
在△AEF和△MGE中，

∠EGM=∠AEF ∠A=∠EMG=90° EG=EF

，
∴△AEF≌△MGE（AAS），
∴AF=ME，
∵AM=AE+EM，
∵IG=IF，IH⊥AB，
∴AM=2AH，
∴AE+AF=2AH，故③正確；
∵∠IEG=∠BIE=45°，
∴EF∥BD，
∴S_△IED=S_△IFD，
∴S_△CDE=S_△CID+S_△IED，
∴S_△BIE+S_△CED=S_△IBC，
∴S_{四邊形BEDC}=2S_△IBC，故④正確．
綜上所述，結論正確的是①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，等底等高的三角形的面積相等的性質，熟記各性質是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造出全等三角形和等腰直角三角形．