Question

9．如圖1，直線l：y=-x+5與拋物線y=x²+bx+c交于坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)B，C，且拋物線與x軸另一交點(diǎn)為點(diǎn)A．
（1）求拋物線解析式；
（2）若將直線l向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線l'與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）取BC中點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)M，如圖2．若點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，是否存在以C，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△CMN相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）由直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，利用一元二次方程根的判別式求出m即可；
（3）由題意得出點(diǎn)M，N坐標(biāo)求出$\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，分點(diǎn)P在x軸（又分$\frac{BC}{BP}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$或$\frac{BP}{BC}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$兩種討論計(jì)算）和y軸上（同①的方法即可）兩種，即可．

解答 （1）對(duì)于直線y=-x+5，令x=0，則y=5；
∴C（0，5）
令y=0，則x=5；
∴B（5，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}25+5b+c=0\\ c=5\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ c=5\end{array}\right.$，所以y=x²-6x+5                        
（2）由題意，直線l'解析式為y=-x+5-m，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
所以方程組$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}-6x+5\\ y=-x+5-m\end{array}\right.$只有一組解，消y得：x²-5x+m=0，
∴△=0，
∴$m=\frac{25}{4}$
此時(shí)，方程為${x^2}-5x+\frac{25}{4}=0$，
∴${x_1}={x_2}=\frac{5}{2}$，
所以$D（\frac{5}{2}，-\frac{15}{4}）$
（3）存在P，
∵取BC中點(diǎn)N，且B（5，0），C（0，5），
∴N（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
∵過點(diǎn)N作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)M，
∴M（$\frac{5}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∴MN=$\frac{5}{2}$+$\frac{15}{4}$=$\frac{25}{4}$，
CN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∵直線BC解析式為y=-x+5，
∴∠OBC=45°，
∵M(jìn)N∥y軸，
∴MN⊥x軸，
∴∠BNP=45°，
∴∠CNM=135°，
∵以C，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△CMN相似
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴無論點(diǎn)P在線段OB上還是在x軸負(fù)半軸，△BPC不可能有一個(gè)角為135°
∴點(diǎn)P只能在射線OB上，
∵∠OBC=45°，
設(shè)P（p，0），
∴BP=p-5，
∵BC=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BC}{BP}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$或$\frac{BP}{BC}=\frac{MN}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{5\sqrt{2}}{p-5}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$或$\frac{p-5}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴p=9或p=$\frac{35}{2}$，
∴P（9，0）或（$\frac{35}{2}$，0），
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴無論點(diǎn)P在線段OC上還是射線CO上，△BPC不可能有一個(gè)角為135°，
∴點(diǎn)P只能在射線OC上，
同①的方法求得點(diǎn)P（0，9），（0，$\frac{35}{2}$），
即：符合條件的點(diǎn)P$（\frac{35}{2}，0），（9，0），（0，\frac{35}{2}），（0，9）$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一元二次方程根的判別式，中點(diǎn)坐標(biāo)的確定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵判斷出∠CNM=135°．