Question

3．我們知道：$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，那么$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
利用上面的規(guī)律計(jì)算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$=$\frac{1005}{2011}$．

Answer 1

分析 觀察給定的等式變形找出規(guī)律“兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積的倒數(shù)=較小數(shù)的倒數(shù)-較大數(shù)的倒數(shù)”由此可將$\frac{1}{n（n+1）}$變形為兩個(gè)分式相減的形式，再由類似的方法找出$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）這一規(guī)律，結(jié)合此規(guī)律將$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$進(jìn)行變形即可得出結(jié)論．

解答 解：觀察$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積的倒數(shù)=較小數(shù)的倒數(shù)-較大數(shù)的倒數(shù)，
即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
根據(jù)類推法可得出：$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2009×2011}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2011}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2011}$）=$\frac{1005}{2011}$．
故答案為：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；$\frac{1005}{2011}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律式$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，再解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．