Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B（4,5），拋物線+b+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是線段AB上的一點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)M作軸的垂線交拋物線與點(diǎn)N，求線段MN的最大值，并求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得⊿PMN是以MN為直角邊的直角三角形？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）-2-3；（2）MN的最大值為，M、N的坐標(biāo)分別為M(), N的坐標(biāo)為N() ；（3）,,

【解析】

（1）直接把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線，即可求出解析式；

（2）先求出直線AB的解析式，然后設(shè)點(diǎn)M為（x，x+1），N（），然后得到MN，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出MN的最大值；

（3）根據(jù)題意，可分為：①當(dāng)以點(diǎn)M為直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)以點(diǎn)N為直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)；結(jié)合點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B（4,5）兩點(diǎn)，

∴，

解得：b=，c=，

∴拋物線的解析式：；

（2）∵直線AB經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B（4,5）兩點(diǎn)，設(shè)，

∴得方程組解得：k=1 ，b=1 ，

∴直線AB的解析式為；

設(shè)M的坐標(biāo)為M(), N的坐標(biāo)為N()，

MN=；

∴當(dāng)時(shí)，MN的最大值為，

∴，，

∴M、N的坐標(biāo)分別為M()，N的坐標(biāo)為N() ；

（3）在拋物線上是存在點(diǎn)P，使得△PMN是以MN為直角邊的直角三角形；

理由如下：如圖，

①當(dāng)以點(diǎn)M為直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，，

∴，

解得：=，=；

②當(dāng)以點(diǎn)N為直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，，

∴，

解得：，=（舍去）；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：，，．