【題目】如圖1,在△ABC中,ABBC,點(diǎn)D、E分別在邊BCAC上,連接DE,且DEDC

1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):若∠ACB=∠ECD45°,則  

2)拓展探究:若∠ACB=∠ECD30°,將△EDC饒點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α180°),圖2是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的某一位置,在此過(guò)程中的大小有無(wú)變化?如果不變,請(qǐng)求出的值,如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)問(wèn)題解決:若∠ABC=∠EDCβ0°<β90°),將△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí),則的值為  .(用含β的式子表示)

【答案】1;(2)不變化,理由詳見(jiàn)解析;(32cosβ

【解析】

1)如圖1,過(guò)EEFABF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠DEC45°,于是得到∠B=∠EDC90°,推出四邊形EFBD是矩形,得到EFBD,推出AEF是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;

2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED30°,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;

3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CEDβ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,即,根據(jù)角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得ACE∽△BCD,證得,過(guò)點(diǎn)BBFAC于點(diǎn)F,則AC2CF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解:(1)如圖1,過(guò)EEFABF

BABC,DEDC,∠ACB=∠ECD45°,

∴∠A=∠C=∠DEC45°,

∴∠B=∠EDC90°,

∴四邊形EFBD是矩形,

EFBD,

EFBC,

∴△AEF是等腰直角三角形,

,

故答案為:

2)此過(guò)程中的大小有變化,

由題意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED30°,

∴△ABC∽△EDC

,即,

又∠ECD+ECB=∠ACB+ECB,

∴∠ACE=∠BCD,

∴△ACE∽△BCD,

在△ABC中,如圖2,過(guò)點(diǎn)BBFAC于點(diǎn)F

AC2CF,

RtBCF中,CFBCcos30°=BC,

ACBC

;

3)由題意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECDβ,

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CEDβ,

∴△ABC∽△EDC,

,即,

又∠ECD+ECB=∠ACB+ECB

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE∽△BCD,

,

在△ABC中,如圖3,過(guò)點(diǎn)BBFAC于點(diǎn)F,則AC2CF

RtBCF中,CFBCcosβ,

AC2BCcosβ

2cosβ

故答案為2cosβ

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①a-b+c>0;②3a+b=0;

③b2=4a(c-n);

④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

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