Question

已知△ABC是等腰三角形，過△ABC的一個頂點的一條直線，把△ABC分成的兩個小三角形也是等腰三角形，則原△ABC的頂角的度數(shù)有幾種情況？（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質

專題：

分析：本題要利用三角形內角和定理求解．由于本題中經(jīng)過等腰三角形頂點的直線沒有明確是經(jīng)過頂角的頂點還是底角的頂點，因此本題要分情況討論．

解答：解：設該等腰三角形的底角是x；
①如圖1，

當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，
設∠A=x°，
則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
②如圖2，

AC=BC=BD，AD=CD，
設∠B=x°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=x°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=2x°，
∴∠ACB=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，則頂角是108°．
③如圖3，

當過底角的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，
設∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°．
④如圖4，

當∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°時，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
則x+3x+3x=180°，
x=

180°

7

，
因此等腰三角形頂角的度數(shù)為36°或90°或108°或

180°

7

，
故選C．

點評：本題考查了等腰三角形的性質及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關系，列方程求解．