Question

已知拋物線y=x²-k的頂點為P，與x軸交于點A，B，且△ABP是正三角形，則k的值是

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)拋物線y=x²-k的頂點為P，可直接求出P點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OP的長度，又因為△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用銳角三角函數(shù)即可求出OB的長度，得出B點的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求出k的值．

解答：解：∵拋物線y=x²-k的頂點為P，
∴P點的坐標(biāo)為：（0，-k），
∴PO=k，
∵拋物線y=x²-k與x軸交于A、B兩點，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°=

OB

OP

=

OB

k

，
∴OB=

3

3

k，
∴點B的坐標(biāo)為：（

3

3

k，0），點B在拋物線y=x²-k上，
∴將B點代入y=x²-k，得：
0=（

3

3

k）²-k，
整理得：

k2

3

-k=0，
解得：k₁=0（不合題意舍去），k₂=3．
故答案為：3．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的求法，以及正三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值問題等知識，求出A或B點的坐標(biāo)進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．