已知一次函數(shù)y1=2x,二次函數(shù)y2=mx2-3(m-1)x+2m-1的圖象關(guān)于y軸對稱,y2的頂點(diǎn)為A.
(1)求二次函數(shù)y2的解析式;
(2)將y2左右平移得到y(tǒng)3交y2于P點(diǎn),過P點(diǎn)作直線l∥x軸交y3于點(diǎn)M,若△PAM為等腰三角形,求P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)是否存在二次函數(shù)y4=ax2+bx+c,其圖象經(jīng)過點(diǎn)(-5,2),且對于任意一個實(shí)數(shù)x,這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1、y2、y4都有y1≤y4≤y2成立?若存在,求出函數(shù)y4的解析式;若不存在,請說明理由.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)利用公式:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-
b
2a
,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
)即可求解,則該二次函數(shù)關(guān)于y軸對稱,對稱軸等于0而解得;
(2)根據(jù)y2解析式設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo),從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo),先三角形的三邊關(guān)系判斷AM不可能與其他兩邊中的一邊相等,則由AP=PM,代入點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)易知y1、y2的交點(diǎn)為(1,2),由于y2≥y4≥y1成立,即三個函數(shù)都交于(1,2),結(jié)合點(diǎn)(-5,2)的坐標(biāo),可用a表示出y4的函數(shù)解析式;已知y4≥y1,可用作差法求解,令y=y4-y1,可得到y(tǒng)的表達(dá)式,由于y4≥y1,所以y≥0,可據(jù)此求出a的值,即可得到拋物線的解析式.
解答:解:由題意二次函數(shù)關(guān)于y軸對稱,則-
-3(m-1)
2m
=0

解得:m≠0,則m=1
∴二次函數(shù)的解析式為:y2=x2+1.

(2)二次函數(shù)的解析式為:y2=x2+1.求得點(diǎn)A(0,1)如圖
設(shè)點(diǎn)p(x,x2+1),則點(diǎn)M(3x,x2+1)
∵△PAM為等腰三角形,精英家教網(wǎng)
∴從圖中可知:Rt△OAM中,AM為斜邊,AM>OM,只有AP=PM,
則AP=PM
x2+x4
=
4x2

x4-3x2=0
x2(x2-3)=0
解得x=0,x=±
3

當(dāng)x=0時,P(0,1)與點(diǎn)A重合,舍去;
當(dāng)x=
3
時,P(
3
,4),則y2向右移動得到;
當(dāng)x=-
3
時,P(-
3
,4)則y2向左移動得到.

(3)存在,
由題意知,當(dāng)x=1時,y1=y2=2,即y1、y2的圖象都經(jīng)過(1,2);
∵對應(yīng)x的同一個值,y2≥y4≥y1成立,
∴y4=ax2+bx+c的圖象必經(jīng)過(1,2),
又∵y4=ax2+bx+c經(jīng)過(-5,2),
a+b+c=2
25a-5b+c=2
-
b
2a
=-2

解得:
b=4a
c=2-5a
,
y4=ax2+4ax-5a+2;
設(shè)y=y4-y1=ax2+4ax-5a+2-2x=ax2+(4a-2)x+(2-5a);
對于x的同一個值,這三個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值y2≥y4≥y1成立,
∴y4-y1≥0,
∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0;
∵a>0,
∴(4a-2)2-4a(2-5a)≤0,即(3a-1)2≤0,
而(3a-1)2≥0,故a=
1
3

∴拋物線的解析式為:y=
1
3
x2+
4
3
x-
1
3
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,考到了二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱的幾何性質(zhì),左右移動后的圖象性質(zhì),以及根據(jù)圖象性質(zhì)判斷在相同x的取值范圍上函數(shù)值具有的特點(diǎn).
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的圖象相交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)分別為(-2,4)、(4,-2).
(1)求兩個函數(shù)的解析式;
(2)結(jié)合圖象寫出y1<y2時,x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.

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