Question

已知半徑為5的⊙O₁交直線y=x+2于A（0，2）、C兩點(diǎn)，交y軸于B（0，10），CD是⊙O₁的直徑，若雙曲線y=

k

x

（x＜0）過點(diǎn)D，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：如圖所示，由O₁Q垂直于AB，利用垂徑定理得到Q為AB中點(diǎn)，在直角三角形BO₁Q中，利用勾股定理求出O₁Q的長，確定出O₁坐標(biāo)，聯(lián)立直線y=x+2與圓方程，求出C坐標(biāo)，由O₁與C坐標(biāo)確定出直線O₁C解析式，與圓方程聯(lián)立求出D坐標(biāo)，代入反比例解析式即可確定出k的值．

解答：解：如圖所示，由O₁Q⊥AB，得到Q為AB的中點(diǎn)，
∵A（0，2），B（0，10），
∴BQ=AQ=4，即OQ=AQ+OA=4+2=6，
∴Q（0，6），
在Rt△O₁BQ中，O₁B=5，BQ=4，
根據(jù)勾股定理得：O₁Q=3，
∴O₁（3，6），
圓的方程為（x-3）²+（y-6）²=25，與直線y=x+2聯(lián)立得：

(x-3)2+(y-6)2=25 y=x+2

，
解得：

x=0 y=2

或

x=7 y=9

，
∴C（7，9），
設(shè)直線CO₁解析式為y=mx+n，
把O₁與C坐標(biāo)代入得：

3m+n=6 7m+n=9

，
解得：m=

3

4

，n=

15

4

，
∴直線CO₁解析式為y=

3

4

x+

15

4

，
與圓方程聯(lián)立得：

y= 3 4 x+ 15 4 (x-3)2+(y-6)2=25

，
解得：

x=7 y=9

或

x=-1 y=3

，
∴D坐標(biāo)為（-1，3），
把D（-1，3）代入y=

k

x

得：k=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，直線方程與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，垂徑定理，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．