如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
(3)如圖②,以點(diǎn)A為圓心,以線段OA為半徑畫圓,交拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸于點(diǎn)B,連接AB,若將拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單位后,B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B′,A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為A′點(diǎn),且滿足四邊形BAA′B′為菱形,平移后的拋物線的對稱軸與菱形的對角線BA′交于點(diǎn)E,在x軸上是否存在一點(diǎn)F,使得以E、F、A′為頂點(diǎn)的三角形與△BAE相似?若存在,求出F點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)、A點(diǎn)、M點(diǎn)可得拋物線的解析式;
(2)根據(jù)將拋物線向右平移m個(gè)單位得到平移后的解析式,將兩個(gè)解析式組成一個(gè)方程組,解此方程組得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),即△CDP的高,而底邊CD的長據(jù)原拋物線可知,三角形面積可求;
(3)畫出圖形,根據(jù)圓和菱形的性質(zhì)得出△BAE是直角三角形,若△BAE∽△A′EF,則△A′EF也是直角三角形,故可求A′F,則F坐標(biāo)可求.
解答:解:(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得,
c=0,
由頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),
將他們的坐標(biāo)值分別代入解析式可得,
2=a+b
0=4a+2b

解得,
a=-2
b=4
,
故該拋物線的解析式為:y=-2x2+4x;

(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線解析式為:
y=-2(x-m)2+4(x-m),
原拋物線與平移后的解析式交于P點(diǎn),
則有
y=-2x2+4x
y=-2(x-m)2+4(x-m)
,
解得,
x=
m
2
+ 1
y=-
m2
2
+2

即P點(diǎn)坐標(biāo)為:(
m
2
+ 1
,-
m2
2
+2
),
那么△CDP的高為:-
m2
2
+2
,而CD=2,
則S=
1
2
×2×(-
m2
2
+2
),
化簡得,S=-
m2
2
+ 2
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(3)如圖,
四邊形BAA′B′為菱形,則有菱形的邊長就是圓的半徑為2,
B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:
22-12
=
3
,
那么tan∠BA′A=
3
3
,
故∠BA′A=∠A′BA=30°,
A′E=AE=
1
cos30°
=
2
3
3
,
AE
AB
=
3
3
正好是tan30°的值,
故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF,
則∠A′EF=90°,
A′F=
A′E
cos30°
=
4
3
,
則AF=2-
4
3
=
2
3
,F(xiàn)橫坐標(biāo)為:2+
2
3
=
8
3
,
故在x軸上存在一點(diǎn)F,F(xiàn)的坐標(biāo)為:(
8
3
,0).
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,其中涉及圓的性質(zhì)和三角函數(shù)的運(yùn)用,難度較大,計(jì)算較為復(fù)雜.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),試判斷以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合,直線PB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線y=-x2+b x+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求b,c的值.
(2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時(shí),求點(diǎn)E坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南沙區(qū)一模)如圖1,已知拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=2OA=4.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P是(1)中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當(dāng)⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),以每秒
2
個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)E作EG∥y軸,交AC于點(diǎn)G(如圖2).若E、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.則當(dāng)t為何值時(shí),△EFG的面積是△ABC的面積的
1
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過梯形OABC的四個(gè)頂點(diǎn),若BC=10,梯形OABC的面積為18.
(1)求拋物線解析式;
(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,平移后的兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代數(shù)式表示x2-x1,并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(3)如圖3,設(shè)圖1中點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,3),M為拋物線的頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng).P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,是否存在某一時(shí)刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連接PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀.

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