Question

已知：如圖，△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，垂足為E，連接AE．
（1）求證：DE=DA；
（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對，并證明；若沒有，請說明理由；
（3）求△BEC與△AEB的面積之比．

Answer 1

（1）證明：∵∠BDC=60°，CE⊥BD，
∴∠DCE=30°，
∴CD=2DE
∵CD=2DA，
∴DE=DA．

（2）有，△ACE∽△AED（或△ABC∽△BDC）
證明：∵DE=DA，∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，∠ADE=120°
∵∠CEA=∠CED+∠AED=120°
∴∠DCE=∠DEA=30°，∠CEA=∠ADE=120°
∴△ACE∽△AED．
注：△ABC∽△BDC的證明正確同樣給．此問不設(shè)點．

（3）解：過點A作AF⊥BD，交BD延長線于點F．
∴∠AFD=∠CED=90°，
又∵∠CDE=∠ADF，
∴△CED∽△AFD，
∴===2，
∴===2：1．
分析：（1）根據(jù)題意得∠DCE=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得CD=2DE，即可得出DE=DA；
（2）先判斷，再根據(jù)題意得出∠DCE=∠DEA，∠CEA=∠ADE，則△ACE∽△AED．
（3）過點A作AF⊥BD，交BD延長線于點F．則∠AFD=∠CED=90°可證得△CED∽△AFD，則===2，從而得出．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．