Question

8．如圖，點(diǎn)B（4，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y=-$\frac{8}{x}$（x＜0）上，點(diǎn)A是x軸上一動點(diǎn)，連接BC、AC、AB．

（1）如圖1，當(dāng)BC∥x軸時，△ABC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到x軸正半軸時，如△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由BC∥x軸，可得出B、C的縱坐標(biāo)相等，由此即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則可證出△CAD≌△ABE，由此即可得出關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得出m、n的值，由此即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）BC∥x軸，
∴B、C的縱坐標(biāo)相等．
∵令y=-$\frac{8}{x}$中y=4，則-$\frac{8}{x}$=4，
解得：x=-2，
∴點(diǎn)C（-2，4）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×[4-（-2）]×4=12．
（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示．
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），點(diǎn)C（n，-$\frac{8}{n}$）（n＜0），
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAD=∠ABE．
在△CAD和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ABE}\\{∠CDA=∠AEB=90°}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△ABE（AAS），
∴CD=AE，AD=BE．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=4}\\{4-m=-\frac{8}{n}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4-2\sqrt{2}}\\{n=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4+2\sqrt{2}}\\{n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍去），
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4-2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形的面積公式以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）找出關(guān)于m、n的方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．