Question

20．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且滿足x₁²x₂²-x₁-x₂=115，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△=36-4k＞0，解不等式求出k的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，代入x₁²x₂²-x₁-x₂=115得到關(guān)于k的方程，結(jié)合k的取值范圍解方程即可．

解答 解：（1）由題意可得△=36-4k＞0，
解得k＜9；

（2）∵x₁，x₂為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，
∵x₁²x₂²-x₁-x₂=115，
∴k²-6=115，
解得k=±11．
∵k＜9，
∴k=-11．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，（1）△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（4）x₁+x₂=-$\frac{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．