Question

【題目】已知四邊形ABCD中，EF分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求證：DE=CF；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證： = ；

（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，當∠B=∠EGF時，第（2）問的結論是否成立？若成立給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∴∠AED=∠CFD，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE=CF

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴ =

（3）解：當∠B=∠EGF時， = 成立，

證明：如圖3，在AD的延長線上取點M，使CM=CF，

則∠CMF=∠CFM，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠CDM，

∵AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B=∠EGF，

∴∠EGF+∠A=180°，

∴∠AED=∠CFM=∠CMF，

∴△ADE∽△DCM，

∴ = ，即 =

【解析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)可得到∠A=∠ADC=90°，AD=DC，然后再依據(jù)同角的余角相等可證明∠AED=∠CFD，最后，在依據(jù)AAS證明△ADE≌△DCF，最后，利用全等三角形對應邊相等進行證明即可；
（2）依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到∠A=∠ADC=90°，然后再依據(jù)同角的余角相等可證明∠ADE=∠DCF，接下來，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形DCF相似，最后，利用相似三角形對應邊成比例進行證明即可；
（3）在AD的延長線上取點M，使CM=CF，先證明△ADE∽△DCM，然后再利用相似三角形對應邊成比例進行證明即可．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．