Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長(zhǎng)為1cm的線(xiàn)段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合）．過(guò)M，N分別作AB的垂線(xiàn)交直角邊于P，Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．

（1）若△AMP的面積為y，寫(xiě)出y與t的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（2）線(xiàn)段MN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時(shí)t的值；若不可能，說(shuō)明理由；
（3）t為何值時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)C上時(shí)，∵AM=t，∴PM=AMtan60°= t．

∴y= t t= t2（0≤t≤1）．

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，PM=BMtan30°= （4﹣t）．

y= t （4﹣t）=﹣ t2+ t（1≤t≤3）

（2）

解：∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．

∴QN=BNtan30°= （3﹣t）．

由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即 t= （3﹣t），

∴t= ．∴當(dāng)t= s時(shí)，四邊形MNQP為矩形

（3）

解：由（2）知，當(dāng)t= s時(shí)，四邊形MNQP為矩形，此時(shí)PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

除此之外，當(dāng)∠CPQ=∠B=30°時(shí)，△QPC∽△ABC，此時(shí) =tan30°= ．

∵ =cos60°= ，

∴AP=2AM=2t．

∴CP=2﹣2t．

∵ =cos30°= ，

∴BQ= （3﹣t）．

又∵BC=2 ，

∴CQ=2 ．

∴ ， ．

∴當(dāng) s或 s時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似

【解析】（1）分兩種情況，點(diǎn)P可以在A(yíng)C上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，利用三角函數(shù)分別用含t的代數(shù)式表示出PM，AM，再用S△APM= AMPM得出y與t的函數(shù)關(guān)系式，（2）當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值，（3）以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時(shí)和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質(zhì)，求得相對(duì)應(yīng)的t的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)關(guān)系式和矩形的判定方法，掌握用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．