Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)．請你寫出所有符合以O(shè)D為腰的等腰三角形ODP的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，4）或（8，4）或（3，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出OD=5，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)已知點(diǎn)P（3，4）判斷出OP=OD，再根據(jù)PD=OD利用勾股定理列式求出DE的長，然后分點(diǎn)E在點(diǎn)D的左邊與右邊兩種情況求出OE，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OA=10，OC=4，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×10=5，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
則PE=OC=4，
∵P（3，4），
∴OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴此時，OP=OD，
當(dāng)PD=OD時，由勾股定理得，DE=$\sqrt{P{D}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
若點(diǎn)E在點(diǎn)D的左邊，OE=5-3=2，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），
若點(diǎn)E在點(diǎn)D的右邊，則OE=5+3=8，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，4），
當(dāng)PO=OD時，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=3，
∴此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），
綜上所述，其余的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（8，4）或（3，4）．
故答案為：（2，4）或（8，4）或（3，4）．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，難點(diǎn)在于要分兩種情況寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．