【題目】如圖所示,點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn),射線AB垂直于MN,垂足為A,半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)過的角度記作a;設(shè)半圓O的半徑為R,AM的長度為m,回答下列問題:
探究:(1)若R=2,m=1,如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí),圓心O′到射線AB的距離是 ;如圖2,當(dāng)a= °時(shí),半圓O與射線AB相切;
(2)如圖3,在(1)的條件下,為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切,在保持線段AM長度不變的條件下,調(diào)整半徑R的大小,請(qǐng)你求出滿足要求的R,并說明理由.
(3)發(fā)現(xiàn):(3)如圖4,在0°<α<90°時(shí),為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切,小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系,請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系;
cosα= (用含有R、m的代數(shù)式表示)
拓展:(4)如圖5,若R=m,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是 ,并求出在這個(gè)變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值(用m表示)
【答案】(1) +1;60°;(2)4+2;(3) ;(4) m2.
【解析】試題分析:(1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.如圖2中,設(shè)切點(diǎn)為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,在Rt△O′EM中,由sinα=,推出α=60°.
(2)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題.
(3)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題、
(4)當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí),之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)α=90°;當(dāng)N′落在AB上時(shí),為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻,此時(shí)∵MN′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是:90°<α≤120°.當(dāng)N′落在AB上時(shí),陰影部分面積最大,求出此時(shí)的面積即可.
試題解析:(1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.想辦法求出O′E的長即可.
在Rt△MFO′中,∵∠MOF=30°,MO′=2,
∴O′F=O′Mcos30°=,O′E=+1,
∴點(diǎn)O′到AB的距離為+1.
如圖2中,設(shè)切點(diǎn)為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,
∴AE=O′F=2,
∵AM=1,
∴EM=1,
在Rt△O′EM中,sinα= ,
∴α=60°
故答案為 +1,60°.
(2)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.
∵O′P=R,
∴R= R+1,
∴R=4+2.
(3)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.
在Rt△O′QM中,O′Q=Rcosα,QP=m,
∵O′P=R,
∴Rcosα+m=R,
∴cosα=.
故答案為.
(4)如圖5中,
當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí),之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)α=90°;當(dāng)N′落在AB上時(shí),為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻,此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是:90°<α≤120°
故答案為90°<α≤120°;
當(dāng)N′落在AB上時(shí),陰影部分面積最大,
所以S═ ﹣ m m= m2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小區(qū)有兩段長度相等的道路需硬化,現(xiàn)分別由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開始施工.如圖的線段和折線是兩隊(duì)前6天硬化的道路長y甲、y乙(米)與施工時(shí)間x(天)之間的函數(shù)圖象
根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)直接寫出y甲、y乙(米)與x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式.
①當(dāng)0<x≤6時(shí),y甲=;
②當(dāng)0<x≤2時(shí),y乙=;當(dāng)2<x≤6時(shí),y乙=;
(2)求圖中點(diǎn)M的坐標(biāo),并說明M的橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義;
(3)施工過程中,甲隊(duì)的施工速度始終不變,而乙隊(duì)在施工6天后,每天的施工速度提高到120米/天,預(yù)計(jì)兩隊(duì)將同時(shí)完成任務(wù).兩隊(duì)還需要多少天完成任務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知P1(﹣2,y1),P2(﹣1,y2)是正比例函數(shù)y=﹣x的圖象上的兩點(diǎn),則y1 y2(填“>”或“<”或“=”).
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【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且矩形其面積為8,此拋物線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn)。
(1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系并說明理由;
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng),在移動(dòng)中保持AN=BM,請(qǐng)判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若點(diǎn)P(x,y)在第三象限,且點(diǎn)P到x軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(﹣2,﹣3)
B.(﹣2,3)
C.(2,﹣3)
D.(2,3)
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【題目】中國航空母艦“遼寧號(hào)”的滿載排水量為67500噸.將數(shù)67500用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.675×105
B.6.75×104
C.67.5×103
D.675×102
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