【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若直線AM與此拋物線的另一個交點為C,求CAB的面積;

(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)24;(3)存在,y=x﹣1)2﹣2y=﹣x﹣1)2+2,

【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

2)根據(jù)軸對稱,可得M′的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得AM′的解析式,根據(jù)解方程組,可得B點坐標,根據(jù)三角形的面積公式,可得答案;

3)根據(jù)正方形的性質(zhì),可得PQ點坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式.

試題解析:(1)將A、B點坐標代入函數(shù)解析式,得,解得

拋物線的解析式y=﹣2x﹣3;

2)將拋物線的解析式化為頂點式,得y=﹣4,M點的坐標為(1,﹣4),

M′點的坐標為(1,4),設AM′的解析式為y=kx+b,

A、M′點的坐標代入,得,解得AM′的解析式為y=2x+2,

聯(lián)立AM′與拋物線,得,解得

C點坐標為(5,12).SABC=×4×12=24

3)存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形,

ABPQ是正方形,A﹣1,0B3,0),得P1,﹣2),Q12),或P1,2),Q1,﹣2),

當頂點P1,﹣2)時,設拋物線的解析式為y=a﹣2,將A點坐標代入函數(shù)解析式,得

a﹣2=0,解得a=,

拋物線的解析式為y=2,

P12)時,設拋物線的解析式為y=a+2,將A點坐標代入函數(shù)解析式,得

a+2=0,解得a=﹣,拋物線的解析式為y=+2,

綜上所述:y=2y=+2,使得四邊形APBQ為正方形.

練習冊系列答案
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A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

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(1)若△ABD≌△BFO,求BQ的長;

(2)求證:FQ=BQ

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