Question

（12分）如圖①，OP是∠MON的平分線。

（1）請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。（3分）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60゜，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請你判斷并寫出EF與DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明。（7分）

（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他條件不變。請問，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？ ______________ （填 是或否）。（2分）

（2）證明：

 

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）提到角平分線就會想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，就要做輔助線（過角平分線上的任一點(diǎn)到角兩邊的距離），構(gòu)造全等三角形

（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，從而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得證△DMF≌△ENF，最終得出結(jié)果；

（3）過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，從而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得證△DMF≌△ENF，因此可判斷.

試題解析：（1）

（2）②相等，過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，

∵F是角平分線交點(diǎn)，

∴BF也是角平分線，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=30°，

∴

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

∴△DMF≌△ENF，

∴FE=FD；

③是．

過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，

∵F是角平分線交點(diǎn)，

∴BF也是角平分線，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四邊形BNFM是圓內(nèi)接四邊形，

∵∠B=60°，

∴∠MFN=180°-∠B=120°，

∵

∴∠DFE=∠CFA=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠DFE，

∴△DMF≌△ENF，

∴FE=FD．

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)