Question

【題目】探究與應用．試完成下列問題：
（1）如圖①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，點O為AB的中點，作∠POQ=90°，分別交AC、BC于點P、Q，連結PQ、CO，求證：AP2+BQ2=PQ2；
（2）如圖②，將等腰Rt△ABC改為任意直角三角形，點O仍為AB的中點，∠POQ=90°，試探索上述結論AP2+BQ2=PQ2是否仍成立；
（3）通過上述探究（可直接運用上述結論），試解決下面的問題：如圖③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點O為AB的中點，過C、O兩點的圓分別交AC、BC于P、Q，連結PQ，求△PCQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，O為斜邊AB中點，

∴AO=OC=OB，∠A=∠B=∠OCQ=45°，∠AOC=90°，

∵∠POQ=90°，

∴∠AOP+∠POC=∠POC+∠COQ，

∴∠AOP=∠COQ，

在△AOP和△COQ中

∴△AOP≌△COQ，

∴AP=CQ，

同理BQ=CP，

在Rt△CPQ中，CP2+CQ2=PQ2，

∴AP2+BQ2=PQ2

（2）解：還成立，

理由是：延長QO到D，使OD=OQ，連接AD，PD，

∵O是AB中點，

∴AO=OB，

在△AOD和△BOQ中

∴△AOD≌△BOQ（SAS），

∴AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，

∵PO⊥OQ，

∴PD=PQ，

∵∠C=90°，

∴∠PAD=90°，

在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP2+AD2=PD2，

∴AP2+BQ2=PQ2

（3）解：∵∠C=90°，

∴PQ是直徑，

連接PO、OQ，則∠POQ=90°，

∴AP2+BQ2=PQ2，

設PC=a，CQ=b，

∴（6﹣a）2+（8﹣b）2=a2+b2，

∴3a+4b=25，

∴b=﹣ a+ ，

∵S△PCQ= ab，

∴S△PCQ=﹣ a2+ a=﹣ （a﹣ ）2+ ．

當a= 時，△PCQ的面積的最大值是

【解析】（1）證△APO≌△COQ，求出AP=CQ，同理求出BQ=CP，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）延長QO到D，使OD=OQ，連接AD，PD，求出PD=PQ，證△AOD≌△BOQ，推出AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP2+AD2=PD2 ， 即可得出答案；（3）連接PO、OQ，則∠POQ=90°，根據(jù)勾股定理得出AP2+BQ2=PQ2 ， 設PC=a，CQ=b，推出（6﹣a）2+（8﹣b）2=a2+b2 ， 求出b=﹣ a+ ，代入S△PCQ= ab求出即可．