Question

如圖1，T₁，T₂分別為⊙O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形．

（1）請你在備用圖中畫出圓O的內(nèi)接正六邊形，并簡要寫出作法；
（2）設(shè)圓O的半徑為R，求T₂的面積（用含R的式子表示）；
（3）設(shè)⊙O的半徑為R，求圖2中陰影部分的面積（用含R的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）先畫出60°的圓心角，確定圓心角所對的弧，在圓上依次截取與弧AB相等的弧即可；
（2）連接OG，得到Rt△OGB≌Rt△OGA，然后利用勾股定理解答；
（3）根據(jù)“陰影部分的面積=外切正六邊形的面積-內(nèi)接正六邊形的面積”，并把正六邊形的面積轉(zhuǎn)化為六個(gè)三角形面積的和解答．

解答：解：（1）如圖

作法：①在⊙O中做圓心角∠AOB=60°；
②在⊙O上依次截取與弧AB相等的弧，得到圓的6個(gè)等分點(diǎn)A、B、C、D、E、F；
③順次連接各點(diǎn)，六邊形ABCDEF即為所求正六邊形．

（2）如圖：

∵由（1）知△AOB為等邊三角形，
∴T₁的半徑為R，
連接OG，可知Rt△OGB≌Rt△OGA，
∴∠OGB=60°，
∴BG=

1

2

，
設(shè)BG為x，由勾股定理有：x²+R²=（2x）²，
解得：x=

3

3

R，
外切正六邊形的邊長為

2 3

3

R．

（3）由圖知：
陰影部分的面積=外切正六邊形的面積-內(nèi)接正六邊形的面積，
∵內(nèi)接正六邊形的面積為S_△AOB的六倍，S_△AOB=

3

4

R²，
∴內(nèi)接正六邊形的面積為：S_內(nèi)=6S_△AOB=

3 3

2

R²．
∵外切正六邊形的面積為S_△OGH的六倍，S_△OGH=

3

3

R²，
∴外切正六邊形的面積為：S_外=6S_△OGH=2

3

R²，
∴S_陰=S_外-S_內(nèi)=

3

2

R²．

點(diǎn)評：本題考查了正多邊形和圓的有關(guān)知識，在計(jì)算正多邊形中的有關(guān)量的時(shí)候，可以構(gòu)造到由正多邊形的半徑、邊心距、半邊組成的直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．注意：相似多邊形的面積比即是其相似比的平方．