Question

如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面積；
（2）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x,0）
①請(qǐng)用x的代數(shù)式表示PB²、PC²；
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

(1)6；（2）（7，4）；（3）①，；②存在這樣的P點(diǎn)，P（3，0）.

試題分析：（1）先由直線求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即OA、OB的長(zhǎng)，從而可求出△AOB的面積；
（2）過(guò)C點(diǎn)作CD⊥x軸，垂足為D，構(gòu)造Rt△ADC.易證△OAB≌△DCA，從而可求出CD=4，OD=7,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（7，4）；
（3）①由（2）可知，PD=7-x，在Rt△OPB中，，Rt△PCD中，
②存在這樣的P點(diǎn)．P（3，0）.
試題解析：（1）由直線，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，∴S_△AOB=×4×3=6；
（2）過(guò)C點(diǎn)作CD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，則OD=4+3=7，
∴C（7，4）；
（3）①由（2）可知，PD=7-x，
在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，
Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，
②存在這樣的P點(diǎn)．
設(shè)B點(diǎn)關(guān)于 x軸對(duì)稱的點(diǎn)為B′，則B′（0，-3），
連接CB′，設(shè)直線B′C解析式為y=kx+b，將B′、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
解得
所以，直線B′C解析式為y=x-3，
令y=0，得P（3，0），此時(shí)|PC-PB|的值最大，