Question

現(xiàn)有一副直角三角板，按下列要求擺放：
（1）如圖1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于點(diǎn)O，另一個(gè)直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，現(xiàn)讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使DF、DE分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，試求

AN

BM

的值；
（2）如圖2，交換兩塊直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于點(diǎn)O，另一個(gè)等腰直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF、DE分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，試求出

AN

BM

的值．

Answer 1

分析：（1）此題可通過證三角形的全等來(lái)求解；在△BOM和△AON中，由于△ABC是等腰直角三角形，易得OA=OB，∠OAN=∠B=45°，而∠BOM、∠AON是同角的余角，由此可證得兩個(gè)三角形全等，即AN、BM的比例關(guān)系為1．
（2）此題思路和（1）相同，只不過全等換成了相似，AO：OB=1：1換成了AO：OB=

3

：1，其他條件和證法不變．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；
又∵∠BOM=∠AON=90°-∠AOM，
∴△MBO≌△NAO，
∴AN：BM=1：1=1．

（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，則∠NAO=∠MBO，
又∵∠BOM=90°-∠AOM，
∠AON=90°-∠AOM
∴∠BOM=∠AON
∴△MBO∽△NAO，
∴AN：BM=AO：BO=tan∠B=tan60°=

3

：1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，難度不大．