Question

（2007•濟(jì)南）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=．
（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法可解得，，即直線AB的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，D點(diǎn)為所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=，CD=BC÷tan∠ADB=3÷，可求OD=OC+CD=，所以D（，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，當(dāng)PQ∥BD時(shí)，△APQ∽△ABD，解得；當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，△APQ∽△ADB，則解得．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
設(shè)過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
由得，，
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為

（2）如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D點(diǎn)為所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，
∴OD=OC+CD=，∴D（，0）；

（3）這樣的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如圖1，
當(dāng)PQ∥BD時(shí)，△APQ∽△ABD，則，
解得，
如圖2，
當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，△APQ∽△ADB，
則，
解得．
點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．