Question

在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

2 3

x

（x＞0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的動(dòng)⊙P始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

（1）如圖1，動(dòng)⊙P與x軸相切，設(shè)與x軸的切點(diǎn)為K，求此時(shí)⊙P的面積．
（2）如圖2，動(dòng)⊙P與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B、C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)，求此時(shí)⊙P的面積．

Answer 1

（1）∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切
∴PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四邊形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四邊形OKPA是正方形．
∴PA=PK=r，
∴r²=2

3

，
∴⊙P的面積=r²π=2

3

π；

（2）連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
則其縱坐標(biāo)為

2 3

x

．
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，
∵四邊形ABCP為菱形
∴BC=PC=PA=AB，而 PA=PB=PC，
∴△PBC是等邊三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

．
sin60°=

PG

PB

，
即

3

2

=

2 3 x

x

解得：x=±2（負(fù)值舍去）
∴PA=BC=r=2，
∴⊙P的面積=4π．