Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，若直角MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)M，則下列說(shuō)法正確的有（　　）
①AE=CF；②EC+CF=4

2

；③DE=DF；④若△ECF的面積為一個(gè)定值，則EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值．

• A、①②
• B、①③
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

分析：①如果連接CD，可證△ADE≌△CDF，得出AE=CF；
②由①知，EC+CF=EC+AE=AC，而AC為等腰直角△ABC的直角邊，由于斜邊AB=8，由勾股定理可求出AC=BC=4

2

；
③由①知DE=DF；
④∵△ECF的面積=

1

2

×CE×CF，如果這是一個(gè)定值，則CE•CF是一個(gè)定值，又EC+CF=4

2

，從而可唯一確定EC與EF的值，由勾股定理知EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值．

解答：解：①連接CD．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在△ADE與△CDF中，∠A=DCF=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．說(shuō)法正確；
②∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=4

2

．
由①知AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4

2

．說(shuō)法正確；
③由①知△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．說(shuō)法正確；
④∵△ECF的面積=

1

2

×CE×CF，如果這是一個(gè)定值，則CE•CF是一個(gè)定值，
又∵EC+CF=4

2

，
∴可唯一確定EC與EF的值，
再由勾股定理知EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值，說(shuō)法正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及方程的思想，有一定難度．