【題目】在矩形OABC中,OA=4,OC=2,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在的直線(xiàn)為x軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)將矩形OABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形DEFC,如圖1,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,求旋轉(zhuǎn)角的大小和點(diǎn)D,F的坐標(biāo);
(2)將圖1中矩形DEFC沿直線(xiàn)BC向左平移,如圖2,平移速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.
①經(jīng)過(guò)幾秒,直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B;
②設(shè)兩矩形重疊部分的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,寫(xiě)出重疊部分面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)旋轉(zhuǎn)角為30°,D(1,),F(;(2)①直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)所需的時(shí)間為秒;②當(dāng)0<t<1時(shí),;當(dāng)1≤t<4時(shí),.
【解析】
(1)根據(jù)OA=4,OC=2,可得BC=2CD,則可以求出∠BCD=60°,則旋轉(zhuǎn)角即可求得;作DM⊥CB于點(diǎn)M,FN⊥CB于點(diǎn)N,根據(jù)三角函數(shù)即可求得DM,CM的長(zhǎng),從而求得D的坐標(biāo),在Rt△CFN中,根據(jù)三角函數(shù)求得CN,FN的長(zhǎng),即可得F的坐標(biāo);
(2)①如圖,HB即為直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)移動(dòng)的距離,在Rt△C′DH中利用三角函數(shù)即可求得DH,從而得到HE,再在Rt△HEB中,利用三角函數(shù)求得BH,即可求得時(shí)間;
②分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)0<t<1時(shí),重疊部分面積為四邊形DGCH,如圖2;當(dāng)1≤t<4時(shí),重疊部分的面積為△GCH,如圖3,分別求解即可.
解:(1)如圖1,在矩形OABC中,OA=4,OC=2,
∴在Rt△BCD中,BC=2CD,即,
∴∠BCD=60°,
∴旋轉(zhuǎn)角∠OCD=30°,
作DM⊥CB于點(diǎn)M,FN⊥CB于點(diǎn)N,
在Rt△CDM中,CM=CDcos60°=1,DM=CDsin60°=,
∴點(diǎn)D到x軸的距離為,
在Rt△CFN中,,
∴點(diǎn)F到x軸的距離為4,
故D(1,),F(,);
(2)①如圖2,HB即為直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)移動(dòng)的距離,
在Rt△C′DH中,,
∴,
在Rt△BEH中,∠BHE=∠C′HD=30°,cos30°=,則,
∴直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)所需的時(shí)間為秒;
②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,
在Rt△DMC′中,C′M=,
當(dāng)0<t<1時(shí),重疊部分面積為四邊形DGCH,如圖2,
∵C′C=t,CG=C′C·tan60°=,
∴,
當(dāng)1≤t<4時(shí),重疊部分的面積為△GCH,如圖3,
∵,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩位同學(xué)在足球場(chǎng)上游戲,兩人的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)如圖1所示,其中AC=DB,小王從點(diǎn)A出發(fā)沿線(xiàn)段AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,小林從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度沿⊙O逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)C,兩人同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),直到都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)游戲結(jié)束,其間他們與點(diǎn)C的距離y與時(shí)間x(單位:秒)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示,結(jié)合圖象分析,下列說(shuō)法正確的是( )
A. 小王的運(yùn)動(dòng)路程比小林的長(zhǎng)
B. 兩人分別在秒和秒的時(shí)刻相遇
C. 當(dāng)小王運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的時(shí)候,小林已經(jīng)過(guò)了點(diǎn)D
D. 在秒時(shí),兩人的距離正好等于的半徑
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】宣和中學(xué)圖書(shū)館今日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書(shū),每本甲種圖書(shū)的進(jìn)價(jià)比每本乙種圖書(shū)的進(jìn)價(jià)高20元,花780元購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)的數(shù)量與花540元購(gòu)進(jìn)乙種圖書(shū)的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種圖書(shū)每本的進(jìn)價(jià)分別是多少元;
(2)宣和中學(xué)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書(shū)共70本,總購(gòu)書(shū)費(fèi)用不超過(guò)3950元,則最多購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)多少本.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:是的高,且.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點(diǎn)E在AD上,連接,將沿折疊得到,與相交于點(diǎn),若BE=BC,求的大小;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接,過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),若,,求線(xiàn)段的長(zhǎng).
圖1. 圖2. 圖3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解不等式組
請(qǐng)結(jié)合題意,完成本題的解答:
(Ⅰ)解不等式①,得______;
(Ⅱ)解不等式②,得______;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái):
(Ⅳ)原不等式組的解集為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A、B兩地之間的路程為3000m,甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,甲到B地停止,乙到A地停止,出發(fā)10分鐘后,甲原路原速返回A地取重要物品,取到該物品后立即原路原速前往B地(取物品的時(shí)間忽略不計(jì)),結(jié)果到達(dá)B地的時(shí)間比乙到達(dá)A地的時(shí)間晚,在整個(gè)行走過(guò)程中,甲、乙兩人均保持各自的速度勻速行走,甲、乙兩人相距的路程y(m)與甲運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x(min)之間的關(guān)系如圖所示,則乙到達(dá)A地時(shí),甲與B地相距的路程是_____m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō):“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,改變它的形式,變換它的結(jié)構(gòu),直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西,這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則.”
閱讀下列兩則材料,回答問(wèn)題
材料一:平方運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算是互逆運(yùn)算,如:a2±2ab+b2=(a±b)2,那么=|a±b|,那么如何將雙重二次根式(a>0,b>0,a±2>0)化簡(jiǎn)呢?如能找到兩個(gè)數(shù)m,n(m>0,n>0),使得(2+()2=a即m+n=a,且使即mn=b,那么a±2=()2+()2±2=(2
∴==|,雙重二次根式得以化簡(jiǎn).
例如化簡(jiǎn):.∵3=1+2且2=1×2,∴3+2=()2+()2+2,
∴==1+.
材料二:在直角坐標(biāo)系xoy中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y)和Q(x,y′)出如下定義:若y′=,則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”例如,點(diǎn)(3,2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3,2),點(diǎn)(﹣2,5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2,﹣5)
問(wèn)題:
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)(﹣3,﹣2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為 ;化簡(jiǎn)= ;
(2)點(diǎn)M為一次函數(shù)y=﹣x+1圖象上的點(diǎn),M′為點(diǎn)M的橫負(fù)縱變點(diǎn),已知N(1,1),若M′N=,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)已知b為常數(shù)且1≤b≤2,點(diǎn)P在函數(shù)y=﹣x2+16(+)(﹣7≤x≤a)的圖象上,其“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣32<y′≤32,若a為偶數(shù),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2的圖象(記為拋物線(xiàn)C1)頂點(diǎn)為M,直線(xiàn)l:y=2x﹣a與x軸,y軸分別交于A,B.
(1)對(duì)于拋物線(xiàn)C1,以下結(jié)論正確的是 ;
①對(duì)稱(chēng)軸是:直線(xiàn)x=1;②頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,﹣a﹣2);③拋物線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).
(2)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)△ABM的面積為S,求S與a的函數(shù)關(guān)系;
(3)將二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣2的圖象C1繞點(diǎn)P(t,﹣2)旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)的圖象(記為拋物線(xiàn)C2),頂點(diǎn)為N.
①當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí),旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)二次函數(shù)y的值都會(huì)隨x的增大而減小,求t的取值范圍;
②當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)C1上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)C2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q',試探究四邊形QMQ'N能否為正方形?若能,求出t的值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠BAC的角平分線(xiàn)AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心作⊙O,使它過(guò)A,D兩點(diǎn)(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡),再判斷直線(xiàn)BC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,AB=3,BD=3,求線(xiàn)段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和)
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