Question

（2009•賀州）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖：作△BC′D與△BCD關(guān)于矩形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線對(duì)稱（要求：在原圖中作圖，不寫(xiě)作法，不證明，保留作圖痕跡）．
（2）若矩形ABCD的邊AB=5，BC=12，（1）中BC′交AD于點(diǎn)E，求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）即從C點(diǎn)向BD引垂線并延長(zhǎng)，相同的距離，找到點(diǎn)C′順次連接三點(diǎn)組成三角形．
（2）主要是根據(jù)軸對(duì)稱圖形，找出圖形中的邊的關(guān)系，利用勾股定理來(lái)求線段的長(zhǎng)．
解答：解：
（1）方法一：作BC′=BC，DC′=DC．
方法二：作∠C′BD=∠CBD，取BC′=BC，連接DC′．
方法三：作∠C′DB=∠CDB，取DC′=DC，連接BC′．
方法四：作C′與C關(guān)于BD對(duì)稱，連接BC′、DC′．
以上各種方法所得到的△BDC′都是所求作的三角形．
只要考生尺規(guī)作圖正確，痕跡清晰都給（3分）．

（2）∵△C′BD與△CBD關(guān)于BD對(duì)稱，
∴∠EBD=∠CBD．
又∵矩形ABCD的AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD．
∴∠EBD=∠EDB，BE=DE．
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，而AB=5，BC=12，
∴5²+（12-BE）²=BE²（5分）
解得BE=．
∴所求線段BE的長(zhǎng)是．（6分）
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合應(yīng)用軸對(duì)稱圖形的題，難度較大，但學(xué)生只要把握了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，還是可以做出來(lái)的．