Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以這兩個(gè)交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸上一點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．
（1）若拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物菱形”是正方形，求b的值；
（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60°．
①“拋物菱形OABC”的面積為

 

．
②將直角三角板中含有“60°角”的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，兩邊與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)△OEF的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求得A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，然后把y=-x²+bx化成y=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)A（

b

2

，

b2

4

），得出

b

2

=

b2

4

，即可求得b的值；
（2）①根據(jù)“拋物菱形”的性質(zhì)，依據(jù)∠OAB=60°求得OB的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求得AC的值，即可求得菱形的面積；②當(dāng)三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時(shí)三角形OEF的面積最小，從而求得△OEF是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求得OE=1，然后求邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的面積即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物菱形”是正方形，
∴∠AOB=45°∠OAB=90°，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相等，
∵A是拋物線y=-x²+bx（b＞0）的頂點(diǎn)，y=-x²+bx=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，
∴A（

b

2

，

b2

4

），
∴

b

2

=

b2

4

，
解得：b=2，

（2）①∵由拋物線y=-x²+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，
∴A（

b

2

，

3

2

b），
代入y=-x²+bx得：

3

2

b=-（

b

2

）²+b•

b

2

，解得：b=2

3

，
∴OB=2

3

，AC=6，
∴“拋物菱形OABC”的面積=

1

2

OB•AC=6

3

；
②存在；
當(dāng)三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時(shí)三角形OEF的面積最小，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=

1

2

∠AOB=30°，
同理∠BOF=30°，
∵∠EOF=60°
∴OB垂直EF且平分EF，
∴三角形OEF是等邊三角形，
∵OB=2

3

，
∴OE=3，
∴OE=OF=EF=3，
∴△OEF的面積=

9 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“拋物菱形”的性質(zhì)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等．