Question

2．已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60°．
（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關系；
（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；
（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離．

Answer 1

分析 （1）結論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．
（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．
（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據(jù)FH=CF•cos30°，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題．

解答 （1）解：結論AE=EF=AF．
理由：如圖1中，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）證明：連接AC，如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{BA=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=2，AG=$\sqrt{3}$BG=2$\sqrt{3}$，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2$\sqrt{3}$，
∴EB=EG-BG=2$\sqrt{3}$-2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2$\sqrt{3}$-2，
在RT△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=2$\sqrt{3}$-2，
∴FH=CF•sin60°=（2$\sqrt{3}$-2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\sqrt{3}$．
∴點F到BC的距離為3-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．