【題目】已知函數(shù)y=-x2+(m-1) x+m (m為常數(shù)),其頂點為M.
(1)請判斷該函數(shù)的圖像與x軸公共點的個數(shù),并說明理由;
(2)當-2≤m≤3時,求該函數(shù)的圖像的頂點M縱坐標的取值范圍;
(3)在同一坐標系內(nèi)兩點A(-1,-1)、B(1,0),△ABM的面積為S,當m為何值時,S的面積最小?并求出這個最小值.
【答案】(1) 該函數(shù)的圖像與軸公共點的個數(shù)是1個或2個;(2) 當-2≤m≤3時,該函數(shù)圖像的頂點縱坐標的取值范圍是0≤y≤4;(3) 當時,面積有最小值
【解析】
(1)計算判別式△的大小,比較與0的大小關系,即可得到根的個數(shù),進而得到函數(shù)的圖像與x軸公共點的個數(shù);
(2)把函數(shù)的解析式化成頂點式,結(jié)合m的取值范圍,即可得到圖像的頂點M縱坐標的取值范圍;
(3) 列出關于△ABM的面積為S的表達式,求其根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值即可得到答案.
(1)由題意得:△=
∴該函數(shù)的圖像與軸公共點的個數(shù)是1個或2個 ;
(2)將y=-x2+(m-1) x+m化成頂點式得到
頂點的縱坐標是y=,
當m=-1時,y有最小值為0;
當m<﹣1時,y隨m的增大而減小,
當m>﹣1時,y隨m的增大而增大,
當m=-2時,y=0.25;
當m=3時,y=4,
則當-2≤m≤3時,該函數(shù)圖像的頂點縱坐標的取值范圍是0≤y≤4 ;
(3)根據(jù)題意,經(jīng)過點M、點A的直線斜率
經(jīng)過點M、點A的直線可表示為:
令可得直線與x軸交點橫坐標為
則△ABM的面積為
故當時,面積有最小值.
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【題目】在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標系叫做極坐標系.如圖,在平面上取定一點O稱為極點;從點O出發(fā)引一條射線Ox稱為極軸;線段OM的長度稱為極徑.點M的極坐標就可以用線段OM的長度以及從Ox轉(zhuǎn)動到OM的角度(規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動角度為正)來確定,即M(4,30°)或M(4,-330°)或M(4,390°)等,則下列說法錯誤的是( ).
A.點M關于x軸對稱點M1的極坐標可以表示為M1(4,-30°)
B.點M關于原點O中心對稱點M2的極坐標可以表示為M2(4,570°)
C.以極軸Ox所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則極坐標M(4,30°)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標的坐標為M(2,2)
D.把平面直角坐標系中的點N(-4,4)轉(zhuǎn)化為極坐標,可表示為N(,135°)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點O在AB上,BC=CD,過點C作⊙O的切線,分別交AB,AD的延長線于點E,F(xiàn).
(1)求證:AF⊥EF;(2)若cosA=,BE=1,求AD的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點,分別落在點,處,點在軸上,再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點在軸上,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點在軸上,依次進行下去……,若點,,則點的坐標為________.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于點,點,交軸于點
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)連接,在直線上方的拋物線上有一點,過點作軸的平行線,交直線于點,設點的橫坐標為,線段的長為,求關于的函數(shù)關系式;
(3)若點在軸上,是否存在點,使以、、為頂點的三角形是等腰三角形,若存在,直接寫出點的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點M,經(jīng)過B,M兩點的⊙O交BC于點G,交AB于點F,FB恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當BC=4,cosC=時,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),連接AB、AC.
(1)求出二次函數(shù)表達式;
(2)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當△AMN面積最大時,求此時點N的坐標;
(3)若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請求出此時點N的坐標.
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【題目】在中,,,是上一點,連接
(1)如圖1,若,是延長線上一點,與垂直,求證:
(2)過點作,為垂足,連接并延長交于點.
①如圖2,若,求證:
②如圖3,若是的中點,直接寫出的值(用含的式子表示)
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