Question

我們知道平行四邊形有很多性質(zhì).

現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)與證明】ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D.

結(jié)論1：B′D∥AC；

結(jié)論2：△AB′C與ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.

……

請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2（只需證明一個結(jié)論）.

【應(yīng)用與探究】在ABCD中，已知∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D.

（1）如圖1，若，則∠ACB= °，BC= ；

（2）如圖2，，BC=1，AB′與邊CD相交于點(diǎn)E，求△AEC的面積；

（3）已知，當(dāng)BC長為多少時，是△AB′D直角三角形？

 

 

Answer 1

【發(fā)現(xiàn)與證明】證明見解析；【應(yīng)用與探究】(1) 45，；（2）；（3）6,2, 4或3.

【解析】

試題分析：【發(fā)現(xiàn)與證明】根據(jù)翻折對稱的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得證.

【應(yīng)用與探究】(1)∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，∠B=30°，∴∠AB′C=∠B=30°.

∵，∴∠CB′D=45°.

由【發(fā)現(xiàn)與證明】的結(jié)論,B′D∥AC,

∴∠ACB=∠ACB′=∠C B′D=45°.

如答圖7,過A點(diǎn)作AP⊥BC于點(diǎn)P,

∵∠B=30°，,

∴.

∵∠ACB=45°,∴.

∴.

(2)過C點(diǎn)分別作CG⊥AB，CH⊥A B′，垂足分別為G、H,應(yīng)用含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理AE和CH的長即可求出△AEC的面積.

(3)分∠B′AD=90°, ∠AB′D=90°和∠ADB′=90°三種情況討論即可.

試題解析：【解析】
【發(fā)現(xiàn)與證明】證明：如答圖1，設(shè)AD與B′C相交于點(diǎn)F，

∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC= B′C.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC.

∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD.

∴.∴AF=CF.

∴B′F=DF.

∴.

∵∠AFC=∠B′FD，∴.∴B′D∥AC.

【應(yīng)用與探究】

（1）45，.

（2）如答圖2，過C點(diǎn)分別作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分別為G、H.

∴CG=CH.

在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，

∴.

∵，∴.

∵△AGC≌△AHC,∴.

設(shè)AE=CE=x,

由勾股定理得,,即,解得.

∴△AEC的面積.

（3）按△AB′D中的直角分類:

①當(dāng)∠B′AD=90°時,如答圖3,

∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=6.

如答圖4,

∵∠A B′D=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=2.

②當(dāng)∠AB′D=90°時,如答圖5,

∵∠B′AD=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=4.

③當(dāng)∠ADB′=90°時,如答圖6,

∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=3.

綜上所述, 當(dāng)BC長為6,2, 4或3時，是△AB′D直角三角形.

考點(diǎn)：1. 翻折問題；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.翻折對稱的性質(zhì)；4.全等三角形的判定和性質(zhì)；5.三角形內(nèi)角和定理；6.等腰三角形的判定和性質(zhì)；7.勾股定理；8. 含30度直角三角形的性質(zhì)；9.分類思想的應(yīng)用.